【2次関数の決定】求め方の引き出しを増やす!分かりやすく解説!

●2次関数の決定

 

エム太郎
エム太郎
今回は2次関数の決定です!

 

グラフがある条件を満たすような2次関数を求めてみましょう!

 

それではさっそく問題を解いてみましょう。





 

●問題

次の条件を満たす放物線をグラフに持つ2次関数を求めよ。

(1)頂点が点(1,2)で、点(3,6)を通る。

(2)頂点が点(2,3)で、点(5,-6)を通る。

(3)軸が直線x=-1で、2点(1,3),(-2,-3)を通る。

(4)軸が直線x=-2で、2点(2,-1),(-8,4)を通る。

 

次の連立3元1次方程式を解け。(グラフ上の3点が与えられた場合)

(5)

a-b+c=1

4a-2b+c=-6

9a+3b+c=9

 

(6)

x+y+z=1

2x-4y-z=11

x-y-2z=2

 

2次関数のグラフが次の3点を通るとき、その2次関数を求めよ。

(7)(-1,0),(2,3),(3,-4)

(8)(1,0),(2,1),(-1,10)

 

●解説

次の条件を満たす放物線をグラフに持つ2次関数を求めよ。

(1)頂点が点(1,2)で、点(3,6)を通る。

 

頂点が点(1,2)であるから、

求める2次関数は

y=a(x-1)²+2

と表わされる。

 

グラフが点(3,6)を通るから

6=a(3-1)²+2

これを解くと a=1

よって求める2次関数は

y=(x-1)²+2

 

答え y=(x-1)²+2

 

 

(2)頂点が点(2,3)で、点(5,-6)を通る。

頂点が点(2,3)であるから、

求める2次関数は

y=a(x-2)²+3

と表わされる。

 

グラフが点(5,-6)を通るから

-6=a(5-2)²+3

これを解くと a=-1

よって求める2次関数は

y=-(x-2)²+3

 

答え y=-(x-2)²+3

 

(3)軸が直線x=-1で、2点(1,3),(-2,-3)を通る。

軸が直線x=-1であるから、求める2次関数は

y=a(x+1)²+q

と表わされる。

 

グラフが2点(1,3),(-2,-3)を通るから

3=a(1+1)²+q

-3=a(-2+1)²+q

 

すなわち

 

3=4a+q

-3=a+q

これを解くと a=2,q=-5

 

よって求める2次関数は

y=2(x+1)²-5

 

答え y=2(x+1)²-5

 

(4)軸が直線x=-2で、2点(2,-1),(-8,4)を通る。

 

軸が直線x=-2であるから、

求める2次関数は

y=a(x+2)²+q

と表わされる。

 

グラフが2点(2,-1),(-8,4)を通るから

-1=a(2+2)²+q

4=a(-8+2)²+q

 

すなわち

 

-1=16a+q

4=36a+q

 

これを解くと a=1/4 ,q=-5

 

よって求める2次関数は

 

答え 

 

次の連立3元1次方程式を解け。(グラフ上の3点が与えられた場合)

(5)

a-b+c=1

4a-2b+c=-6

9a+3b+c=9

 

a-b+c=1   …①

4a-2b+c=-6  …②

9a+3b+c=9  …③

 

まず、1つの文字cを消去する。

 

③-①から 8a+4b=8

すなわち  2a+b=2…④

 

③-②から 5a+5b=15

すなわち a+b=3…⑤

 

④、⑤を連立させた方程式を解くと a=-1,b=4

 

このa,bの値を①に代入して c=6

 

ゆえに a=-1,b=4,c=6

 

答え a=-1,b=4,c=6

 

(6)

x+y+z=1

2x-4y-z=11

x-y-2z=2

 

x+y+z=1   …①

2x-4y-z=11  …②

x-y-2z=2   …③

 

まず、1つの文字zを消去する。

 

①+②から 3x-3y=12

すなわち  x-y=4…④

 

①×2+③から 3x+y=4…⑤

 

④、⑤を連立させた方程式を解くと x=2,y=-2

 

このx,yの値を①に代入して z=1

 

ゆえに x=2,y=-2,z=1

 

答え x=2,y=-2,z=1

 

2次関数のグラフが次の3点を通るとき、その2次関数を求めよ。

(7)(-1,0),(2,3),(3,-4)

求める2次関数をy=ax²+bx+cとする。

 

グラフが3点(-1,0),(2,3),(3,-4)を通るから

 

a-b+c=0   …①

4a+2b+c=3  …②

9a+3b+c=-4 …③

 

②-①から 3a+3b=3

すなわち a+b=1…④

 

③-②から 5a+b=-7…⑤

 

④、⑤を解いて a=-2,b=3

 

これらを①に代入して c=5

 

したがって、求める2次関数は

y=-2x²+3x+5

 

答え y=-2x²+3x+5

 

(8)(1,0),(2,1),(-1,10)

求める2次関数をy=ax²+bx+cとする。

 

グラフが3点(1,0),(2,1),(-1,10)を通るから

 

A+b+c=0   …①

4a+2b+c=1   …②

a-b+c=10   …③

 

②-①から 3a+b=1…④

 

②-③から 3a+3b=-9

すなわち a+b=-3…⑤

 

④、⑤を解いて a=2,b=-5

これらを①に代入して c=3

 

したがって、求める2次関数は

y=-2x²-5x+3

 

答え y=-2x²-5x+3

 

 

エム太郎
エム太郎
お疲れ様!

 

2次関数は多くの問題に触れていこう!

 

 

 



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