【2次不等式・2次関数の応用】応用できる解き方を分かりやすく!

 

マル太郎
マル太郎
今回は2次不等式・2次関数の応用の部分をやっていきます!

 

早速問題に取り組んでいきましょう!





 

●問題

(1)2次関数y=x²+mx+2のグラフがx軸と共有点を持つように、定数mの値の範囲を定めよ。

 

(2)2次不等式-x²+mx+m<0の解がすべての実数であるとき、定数mの値の範囲を求めよ。

 

(3)2次関数y=x²-mx+2m-3において、yの値が常に正であるように、定数mの値の範囲を定めよ。

 

次の連立不等式を解け。

 

(4)x²+4x+3>0

   x²-x-6≦0

 

(5)次の不等式を解け。

 

(6)地上から物体を、秒速50mで真上に打ち上げたとき、t秒後の物体の高さymは、y=-5t²+50tで表されるものとする。

打ち上げてからt秒後の物体の高さが80m以上120m以下であるのは、tの値がどのような範囲にあるときか。

 

(7)2次関数y=x²-2mx-m+2のグラフとx軸の正の部分が異なる2店で交わるように、定数mの値の範囲を定めよ。

 

(8)2次関数y=f(x)=-ax2+bx+c(a≠0)は、2点(1,-3),(5,13)を通る。以下の問いに答えよ。

(ⅰ)b,cをaを用いて表せ。

(ⅱ)2次関数y=f(x)の頂点の座標をaで表せ。

(ⅲ)aが正の値をとって変化するとき、頂点のy座標の最小値を求めよ。

 

(9)kを、k≧0を満たす定数とする。

2次関数y=f(x)=-x²+2kx-4k+4(0≦x≦1)の最大値を求めよ。

 

(10)次の方程式を解け。

x²-|2x-1|-3=0

 

 

(11)

(i)xの2次方程式x²+ax-a²=0…①の1つの解がx=1のとき、aの値ともう1つの解を求めよ。

(ii)(ii)xの2次方程式kx²-2(k+1)x+2k-3=0・・・②(k≠0)が重解を持つようなkの値を求めよ。

 

(12)xの2次方程式kx²-2(k+1)x+2k-3=0…①(k≠0)が重解をもつようなkの値を求めよ。

 

(13)xの方程式(x²+2x)²-5(x²+2x)-6=0…①について、次の問いに答えよ。

(ⅰ)x²+2x=Xと置いて、Xの値を求めよ。

(ⅱ)方程式①を解け。

 

(14)方程式x(x+1)(x+2)(x+3)=24を解け。

 

(15)2次関数y=f(x)=x²+2x+3と直線y=g(x)=x+kについて、次の問いに答えよ。

(ⅰ)y=f(x)がy=g(x)の上側にある時、kの値の範囲を求めよ。

(ⅱ)y=f(x)とy=g(x)がx=1で交わるとき、もう1つの交点のx座標を求めよ。

 

(16)2次関数y=f(x)=ax²-(a+1)x+2a+2(a>0)がある。2次方程式f(x)=0の相異なる²実数解α、βが次の条件を満たすとき、aの取りえる値の範囲を求めよ。

(ⅰ)α<4<β

(ⅱ)2<α<3<β

 

(17)2つの不等式x²-3x-4≦0…①、-x²+x<0…②を同時に満たすxの値の範囲を求めよ。

 

(18)x²-6x+1≦0…①の解が、x²-(a-1)-a≦0…②の解が含まれるとき、実数aの取りえる値の範囲を求めよ。

 

(19)放物線:y=x²-kxが、常に直線y=2x-4の上側にあるためのkの条件を求めよ。

 

(20)2次不等式:px²+px+p-1>0が、すべての実数xについて成り立つように、pの値の範囲を求めよ。

 

(20)不等式-x²+5x+2>2|x-1|…①を解け。

 

(21)不等式…①を解け。

 

(22)2次方程式x²-2(p+2)x+2p+7=0…①が相異なる²実数解α、βをもち、それらが0<α<βとなるような定数pの範囲を定めよ。

 

 

●解説

(1)2次関数y=x²+mx+2のグラフがx軸と共有点を持つように、定数mの値の範囲を定めよ。

 

2次関数y=x²+mx+2のグラフがx軸と共有点を持つためには

2次方程式x²+mx+2=0の判別式をDとして

D≧0となればよい。

 

D=m²-4・1・2=m²-8≧0

よって m²≧8

ゆえに x≦-2√2、2√2≦x

 

答え x≦-2√2、2√2≦x

 

(2)2次不等式-x²+mx+m<0の解がすべての実数であるとき、定数mの値の範囲を求めよ。

 

2次方程式-x²+mx+m=0の判別式をDとすると

D=m²-4・(-1)・m

=m²+4m

 

与えられた2次不等式のx²の係数が負であるから、

その解すべての実数であるための必要十分条件はD>0である。

 

m²+4m>0

 

2次方程式m²+4m=0を解くとm=0,-4

 

よって求める定数mの値の範囲はm<-4,0<m

 

答え 定数mの値の範囲はm<-4,0<m

 

(3)2次関数y=x²-mx+2m-3において、yの値が常に正であるように、定数mの値の範囲を定めよ。

 

2次方程式x²-mx+2m-3=0の判別式をDとすると

2次関数y=x²-mx+2m-3において

yの値が常に正であるための必要十分条件はD<0である。

 

D=(-m)²-4・1・(2m-3)

=m²-8m+12

=(m-6)(m-2)

よって 2<m<6

 

 

答え 2<m<6

 

次の連立不等式を解け。

 

(4)

x²+4x+3>0

x²-x-6≦0

x²+4x+3>0から(x+3)(x+1)>0

 

よってx<-3,-1<x…①

 

x²-x-6≦0から

(x-3)(x+2)≦0

 

よって -2≦x≦3…②

 

 

①と②の共通範囲を求めて

-1<x≦3

 

答え -1<x≦3

 

(5)次の不等式を解け。

 

から

(x-4)(x+1)≧0

よって

x≦-1,4≦x…①

 

から

(x-5)(x+2)<0

よって

-2<x<5…②

 

 

①と②の共通範囲を求めて

-2<x≦1,4≦x<5

 

答え -2<x≦1,4≦x<5

 

(6)地上から物体を、秒速50mで真上に打ち上げたとき、t秒後の物体の高さymは、y=-5t²+50tで表されるものとする。

打ち上げてからt秒後の物体の高さが80m以上120m以下であるのは、tの値がどのような範囲にあるときか。

 

t秒後の物体の高さが、80m以上120m以下であるから

 

80≦-5t²+5t≦120

80≦-5t²+5から

t²-10t+16≧0

 

これを解いて 2≦t≦8…①

 

-5t²+5t≦120から

t²-10t+24≧0

これを解いて

t≦4,6≦t…②

 

 

求めるtの値の範囲は、①と②の共通範囲であるから

2≦t≦4,6≦t≦8

 

答え 2≦t≦4,6≦t≦8

 

(7)2次関数y=x²-2mx-m+2のグラフとx軸の正の部分が異なる2店で交わるように、定数mの値の範囲を定めよ。

この関数の式を変形すると

y=(x-m)2-m2-m+2

グラフ橋は下に凸の放物線で、その軸は直線x=mである。

 

 

〔1〕

グラフとx軸が異なる2点で交わる。

2次方程式x2-2mx-m+2=0の判別式をDとすると、

D>0であればよい。

D=(-2m)2-4×1×(-m+2)=4(m2+m-2)

D>0からm2+m-2>0

よって

m<-2、1<m・・・①

 

〔2〕

グラフの軸がy軸より右側にある。

m>0・・・②

 

〔3〕

グラフとy軸の交点のy座標が正である。

-m+2>0から

m<2・・・③

①、②、③の共通範囲を求めて

1<m<2

 

 

答え 1<m<2

 

(8)2次関数y=f(x)=-ax2+bx+c(a≠0)は、2点(1,-3),(5,13)を通る。以下の問いに答えよ。

 

(ⅰ)b,cをaを用いて表せ。

 

y=f(x)=-ax2+bx+cは、2点(1,-3),(5,13)を通るので

f(1)=-a+b+c=-3・・・①

f(5)=-25a+5b+c=13・・・②

 

①-②より

24a=4b=-16、6a-b=-4

 

よって

b=6a+4・・・③

 

③を①に代入して

-a+6a+4+c=-3

 

よって

c=-5a-7・・・④

 

答え b=6a+4、c=-5a-7

 

(ⅱ)2次関数y=f(x)の頂点の座標をaで表せ。

(i)より

y=-ax2+(6a+4)x-5a-7

 

よって

y=f(x)の頂点の座標は

答え 

 

(ⅲ)aが正の値をとって変化するとき、頂点のy座標の最小値を求めよ。

 

頂点のy座標を変形すると

 

ここで、a>0のとき

 

よって相加平均と相乗平均の関係より

(相加相乗平均の不等式:p>0,q>0の時p+q≧2√pq

〈等号成立条件:p=Q〉)

 

 

よって

頂点のy座標の最小値は13である。

 

答え 頂点のy座標の最小値は13

 

(9)kを、k≧0を満たす定数とする。

2次関数y=f(x)=-x²+2kx-4k+4(0≦x≦1)の最大値を求めよ。

 

y=f(x)を標準形に変形すると

y=f(x)=-(x2-2kx+k2)-4k+4+k2

=-(x-k)2+k2-4k+4(0≦x≦1)

 

よって

 

y=f(x)は頂点(k, k2-4k+4)の上に凸の放物線である。

 

この最大値を(i)0≦x≦1(ii)1<kに場合分けして求める。

 

(i)0≦x≦1のとき

x=kで、y=f(x)は最大になる。

最大値f(k)=-(k-k)2+ k2-4k+4=(k-2)2

 

(ii)1<kのとき

x=1で、y=f(x)は最大になる。

最大値f(1)=-12+2k×1-4k+4=-2k+3

 

答え

0≦x≦1のとき、(k-2)2

1<kのとき、-2k+3

 

 

(10)次の方程式を解け。

x²-|2x-1|-3=0

 

x²-|2x-1|-3=0・・・①

より

 

(i)x≧1/2のとき、

 

①は

x²-(2x-1)-3=0,x2-2x-2=0

x=-(-1)±

=1±√3

 

ここでx≧1/2より

x=1±√3

 

(ii)x<1/2のとき

 

①は

x²+(2x-1)-3=0

x2-2x-4=0

x=-1±√5

 

ここで

 x<1/2より

x=-1-√5

 

以上、(i)(ii)より

求める①の解は

x=1±√3、またはx=-1-√5

 

 

答え x=1±√3、またはx=-1-√5

 

(11)xの2次方程式x²+ax-a²=0…①の1つの解がx=1のとき、aの値ともう1つの解を求めよ。

 

x2+ax-a2-1-0・・・①の解x=1を①に代入して

1+a-a2-1=0

a2-a=0

 

よって

a(a-1)=0

 

ゆえに

a=0,1

 

(i)a=0のとき

①は

x2-1=0

(x+1)(x-1)=0

 

よって

x=±1

ゆえにx=1以外のもう1つの解は-1

 

(ii)a=1のとき

①は

x2+x-2=0

(x+2)(x-1)=0

 

よって

x=-2,1

 

ゆえにx=1以外のもう1つの解は-2

 

答え

a=0,1

もう1つの解は-1,-2

 

(12)xの2次方程式kx²-2(k+1)x+2k-3=0・・・①(k≠0)が重解を持つようなkの値を求めよ。

 

kx2-2(k+1)x+2k-3=0・・・①(k≠0)が重解を持つとき、

 

この判別式をDとおくと

 

D/4 =(k+1)2-k(2k-3)=0

(ax2+2b’x+c=0の形だから、D/4=b’2-ac=0を使った)

k2+2k+1-2k2+3k=0

-k2+5k+1=0

 

よって

k2-5k-1=0

これを解いて

答え 

 

 

(13)xの方程式(x²+2x)²-5(x²+2x)-6=0…①について、次の問いに答えよ。

(ⅰ)x²+2x=Xと置いて、Xの値を求めよ。

(ⅱ)方程式①を解け。

 

kx²-2(k+1)x+2k-3=0…①

 

(i)x2+2x=x・・・②とおくと、

①は

x2-5x-6-0

(x+1)(x-6)=0

 

よって

 

x=-1,6

 

(ii)(i)の結果を用いて

 

(A)X=x2+2x=-1のとき

 

x2+2x+1=0

(x+1)2=0

 

よって

x=-1

 

(B) X=x2+2x=6

x2+2x-6=0

これを解くと

以上(i)(ii)より

求める方程式①の解は

x=-1,-1±√7

 

答え x=-1,-1±√7

 

(14)方程式x(x+1)(x+2)(x+3)=24を解け。

 

与方程式を変形して

x(x+3)(x+1)(x+2)=24

(x2+3x)(x2+3x+2)=24

 

ここで、x2+3x=A・・・①とおくと

 

A(A+2)=24

A2+2A-24=0

(A+6)(A-4)=0

 

よって

A=-6または4

 

(i) A=-6のとき

①より

x2+3x=-6

x2+3x+6=0・・・①‘

 

この判別式をDとおくと

D=32-4・1・6=-15<0

 

よって

①’は実数解を持たない。

 

(ii)A=4のとき

①より

x2+3x=4

x2+3x-4=0

(x+4)(x-1)=0

 

よって

x=1,-4

 

以上より

(i)(ii)より

求める解は

x=1またはx=-4

 

答え x=1またはx=-4

 

(15)2次関数y=f(x)=x²+2x+3と直線y=g(x)=x+kについて、次の問いに答えよ。

 

①、②よりyを消去して

x2+2x+3=x+k

x2+x+3-k=0・・・③

 

(ⅰ)y=f(x)がy=g(x)の上側にある時、kの値の範囲を求めよ。

③の判別式をDとおくと

全ての実数xに対して

f(x)>g(x)となる条件は

D=12-4×1×(3-k)<0

-11+4k<0

よって

答え k<11/4

 

(ⅱ)y=f(x)とy=g(x)がx=1で交わるとき、もう1つの交点のx座標を求めよ。

 y=f(x)とy=g(x)の交点のx座標が1より、

x=1を③に代入して成り立つ。

 

よって

1+1+3-k=0より

k=5

 

ゆえに③は

x2+x-2=0

(x+2)(x-1)=0

 

x=1,-2より

 

もう1つの交点のx座標は-2

 

答え もう1つの交点のx座標は-2

 

(16)2次関数y=f(x)=ax²-(a+1)x+2a+2(a>0)がある。2次方程式f(x)=0の相異なる実数解α、βが次の条件を満たすとき、aの取りえる値の範囲を求めよ。

 

(ⅰ)α<4<β

 

α<4<βとなるための条件は

f(4)=16a-4(a+1)+2a=14a-2<0

 

よって

a<0も考慮に入れて

 

答え 

 

(ⅱ)2<α<3<β

2<α<3<βとなるための条件も同様に

 

(A)

f(2)=4a>0

よって

a>0

 

(B)

f(3)=8a-1<0

よって

 

以上(A) (B)より、の求めるaの値の範囲は

 

答え 

 

(17)2つの不等式x²-3x-4≦0…①、-x²+x<0…②を同時に満たすxの値の範囲を求めよ。

x2-3x-4≦0・・・①

-x2+x<0・・・②

 

(i)

①より

(x+1)(x-4)≦0

よって

-1≦x≦4

 

(ii)

②より、

x2-x>0

x(x-1)>0

よって

x<0,1<x

 

 

(i) (ii)より、

①、②を共に満たすxの値の範囲は

-1≦x<0、1<x≦4

 

答え -1≦x<0、1<x≦4

 

(18)x²-6x+1≦0…①の解が、x²-(a-1)-a≦0…②の解が含まれるとき、実数aの取りえる値の範囲を求めよ。

 

2次方程式x2-6x+1=0の解は

x=3±2√2より

2次不等式x-6x+1≦0・・・①の解は

3-2√2≦x≦3+2√2

x-(a-1)x-a≦0・・・②を変形して

(x-a)(x+1)≦0

よって②の解は

(i) a≦-1のときa≦x≦-1

(ii)-1<aのとき-1≦x≦a

 

 

②の解は①の解を含むのは上図から明らかに

(B)の-1≦x≦aのときしかない。

よって求めるaの値の範囲は図より

3+2√2≦a

 

答え 3+2√2≦a

 

(19)放物線:y=x²-kxが、常に直線y=2x-4の上側にあるためのkの条件を求めよ。

 

y=x2-kxが常にy=2x-4の上側にあるとき、

x2-kx>2x-4より

x2-(k+2)x>0

 

これがすべての実数xに対して成り立つための条件は

2次方程式x2-(k+2)x+4=0の判別式DがD<0となることである。

 

D=(k+2)2-16<0

k2+4k-12<0

(k+6)(k-2)<0

 

よって

-6<k<2

 

答え -6<k<2

 

(20)2次不等式:px²+px+p-1>0が、すべての実数xについて成り立つように、pの値の範囲を求めよ。

 

すべての実数xに対して、

px2+px+p-1>0(p≠0)が成り立つためには

 

この左辺をy=f(x)=px2+px+p-1と

おいたとき

y=f(x)のグラフが、常にx軸の上方にならなければならない。

 

よって

p>0・・・①

 

さらに、

2次方程式f(x)=0の判別式をDとおくと

D=p2-4p(p-1)<0

p(-3p+4)<0・・・②

 

ここで、p>0・・・①より②の両辺をpで割って

-3p+4<0

3p>4

 

よって

 

答え 

 

(21)不等式-x²+5x+2>2|x-1|…①を解け。

 

-x2+5x+2>2|x-1|・・・①

 

(ⅰ)

x≧1のとき、①は

-x2+5x+2>2(x-1)

x2-3x-4<0

(x+1)(x-4)<0

-1<x<4

 

これとx≧1より

1≦x<4

 

(ⅱ)

x<1のとき、①は

-x2+5x+2>-2(x-1)

x2-7x<0

x(x-7)<0

0<x<7

 

これとx<1より

0<x<1

 

以上(A)(B)を合わせて

求める①の解は0<x<4

 

答え 0<x<4

 

(22)不等式…①を解け。

 

①より

よって

(x+1)(x-3)≧0 

かつ

x-3≠0

A/B≧0のときAB≧0かつA≠0を使いました!
マル太郎
マル太郎

 

以上より、

②の解は

x≦-1、3<x

 

答え x≦-1、3<x

 

(23)2次方程式x²-2(p+2)x+2p+7=0…①が相異なる²実数解α、βをもち、それらが0<α<βとなるような定数pの範囲を定めよ。

 

①を分解して

y=f(x)とx軸との2交点のx座標α、βが①の方程式の異なる

2実数解である。

 

これが0<α<βとなるための条件は

(i)

判別式D/4=(p+2)2-1・(2p+7)>0

p2+2p-3>0

(p+3)(p-1)>0

 

よって

p<-3、1<p

 

(ii)

軸x=p+2>0

よって

p>-2

 

(iii)

f(0)=2p+7>0

よって

 

 

以上(i)(ii)(iii)より

求めるpの範囲は

p>1

 

答え p>1

 

マル太郎
マル太郎
お疲れさまでした!

 

何かあったら

 

Twitter、LINEなんでもいいので

 

連絡してくださいね!

 

 



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