2次関数のグラフの解き方を解説!センター、2次対策しよう!

2次関数のグラフ

エム太郎
エム太郎
今回は2次関数のグラフについて勉強していきます!

 

xの2次関数とはxの2次式で表される関数のことです!

【A】y=ax²のグラフ

2次関数

y=x²、y=-x²

y=2x²、y=-2x²

y=x²、y=-x²

のグラフは、それぞれ下図のような曲線になります。

 

 

一般的に、

2次関数y=ax²のグラフは、

原点Oを通り、

y軸に関して対象な曲線です。

 

2次関数y=ax²のグラフの形の曲線を放物線といいます。

 

放物線は対称の軸を持っています。

 

この対象の軸を、

その放物線の軸といい、

 

軸と放物線の交点を、

その放物線の頂点といいます。

 

2次関数y=ax²のグラフは、軸がy軸で、頂点が原点の放物線です。

 

 

また、

2次関数y=ax²について、次のことが成り立ちます。

 

[1]a>0の時

 

xの値が増加すると

 

x≦0の範囲でyの値は減少し

x≧0の範囲でyの値は増加する。

 

[2]a<0の時

 

xの値が増加すると

 

x≦0の範囲でyの値は増加し

x≧0の範囲でyの値は減少する。

 

また

2次関数y=ax²のグラフは

その曲線の形状から

 

a>0のとき下に凸、a<0のとき上に凸

 

であるといいます。

 

 

 

 

2次関数y=ax²のグラフのまとめ

2次関数y=ax²のグラフは、放物線である。

1.軸はy軸、交点は原点

2.a>0のとき下に凸、a<0のとき上に凸

 

エム太郎
エム太郎
それでは問題を解きましょう!



問題1

 

次の2次関数のグラフを書け。

⑴y=3x²

 

⑵y=-4x²

 

⑶y=x²

 

⑷y=-x²

 

 

解説1

 

⑴y=3x²

答え

 

 

 

⑵y=-4x²

答え

 

 

⑶y=x²

答え

 

 

 

⑷y=-x²

答え

 

 

 

【B】y=ax²+qのグラフ

平面上、図形上の各点を一定の向きに、

一定の距離だけ動かすことを平行移動といいます。

 

点の移動について、一般に次のことが言えます。

 

点(a,b)を

x軸方向にp、

y軸方向にq

だけ移動した点の座標は(a+p,b+q)である。

 

 

次の2つの2次関数のグラフの関係を調べよう。

y=2x²…①

y=2x²+4…②

xの各値における2つの関数の値は、次の表のようになる。

 

 

xの各値において、

2x²+4の値は2x²の値よりも常に4だけ大きい。

 

よって

 

y=2x²+4のグラフはy=2x²のグラフを

y軸方向に4だけ平行移動した放物線であり

下図のようになる。

また、この放物線の軸はy軸、頂点は点(0,4)である。

 

 

一般に次のことが言える。

 

2次関数y=ax²+qのグラフは

y=ax²のグラフをy軸方向にqだけ平行移動した放物線である。

また

その軸はy軸、頂点は点(0,9)である。

 

エム太郎
エム太郎
それでは問題を解いていきましょう!

 

問題2

次の各点を、x軸方向に-3、y軸方向に2だけ移動した点の座標を求めよ。

(1)(1,2)

(2)(4,-1)

(3)(-2,1)

(4)(-1,-3)

 

次の2次関数のグラフを書け。また、その軸と頂点を求めよ。

(5)y=x²+1

(6)y=2x²-3

(7)y=-x²+2

 

 

 

解説2

 

(1)(1,2)

 

(1-3,2+2)

よって

答え (-2,4)

 

(2)(4,-1)

 

(4-3,-1+2)

よって

答え (1,1)

 

(3)(-2,1)

 

(-2-3,1+2)

よって

答え (-5,3)

 

(4)(-1,-3)

 

(-1-3,-3+2)

よって

答え (-4,-1)

 

 

(5)y=x²+1

答え

 

 

軸はy軸、頂点は(0,1)

 

(6)y=2x²-3

答え

 

軸はy軸、頂点は(0,-3)

 

 

(7)y=-x²+2

答え

 

 

軸はy軸、頂点は(0,2)

 

 

【C】y=a(x-p)²のグラフ

次の2つの2次関数のグラフの関係を調べてみよう。

y=2x²…①

y=2(x-3)²…②

xの各値における2つの関数の値は、次の表のようになる。

 

 

この表において

③の値は①の値を右に3つだけずらしたものになっている。

 

よって、y=2(x-3)²のグラフは

y=2x²のグラフを

x軸方向に3だけ平行移動した放物線であり

下図のようになる。

また、この放物線の軸は直線x=3、頂点は点(3,0)である。

 

 

一般に、次のことが言えます。

 

2次関数y=a(x-p)²のグラフは

y=ax²のグラフをx軸方向にpだけ平行移動した放物線である。

また、その軸は直線x=p、頂点は点(p,0)である。

 

 

エム太郎
エム太郎
それでは問題を解いていきましょう!

問題3

次の2次関数のグラフを書け。また、その軸と頂点を求めよ。

(1)y=(x-1)²

(2)y=-2(x+2)²

(3)y=1/2(x+3)²

*1/2は2分の1です。

 

 

解説3

(1)y=(x-1)²

答え

 

 

軸はx=1、頂点は(1,0)

 

(2)y=-2(x+2)²

答え

 

 

軸はx=-2、頂点は(-2,0)

 

(3)y=1/2(x+3)²

答え

 

 

軸はx=-3、頂点は(-3,0)

 

 

【D】y=a(x-p)²+qのグラフ

y=2(x-3)²+4…④のグラフについて考えます。

④はy=2(x-3)²…③のグラフを

y軸方向に4だけ平行移動した放物線である。

 

よって、④のグラフは

y=2x²…①のグラフを

x軸方向に3、y軸方向に4だけ平行移動した放物線である。

 

また、④の放物線の軸はx=3、頂点は点(3,4)である。

 

 

一般に、2次関数y=a(x-p)²+qについて、次のことが言えます。

 

2次関数y=a(x-p)²+qのグラフはy=ax²のグラフを

x軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した放物線である。

軸は直線x=p、頂点(p,q)

 

 

エム太郎
エム太郎
それでは問題を解いていきましょう!

問題4

次の2次関数のグラフを書け。また、その軸と頂点を求めよ。

(1)y=(x-1)²+2

(2)y=2(x-2)²-3

(3)y=-2(x+1)²-2

(4)y=-1/2(x+2)²+5

*-1/2はマイナス2分の1です。

 

 

解説4

(1)y=(x-1)²+2

答え

 

 

軸はx=1、頂点は(1,2)

 

(2)y=2(x-2)²-3

答え

 

 

軸はx=2、頂点は(2,-3)

 

 

(3)y=-2(x+1)²-2

答え

 

 

軸はx=-1、頂点は(-1,-2)

 

 

(4)y=-1/2(x+2)²+5

答え

 

 

軸はx=-2、頂点は(-2,5)

 

 

【E】y=ax²+bx+cのグラフ

2次式2x²-4x+5は、次のようにa(x-p)²+qの形に変形できます。

 

2x²-4x+5

=(x²-2x)+5

 

定数項以外をx²の係数でくくる。

 

=2(x²-2x+1²-1²)+5

=2{(x-1)²-1²}+5

=2(x-1)²+3

 

このように、2次式ax²+bx+cをa(x-p)²+qの形に

変形することを平方完成といいます。

 

2次式ax²+bx+cを平方完成すると、次のようになる。

 

 

したがって、

2次関数y=ax²+bx+cのグラフについて次のことが言えます。

 

2次関数y=ax²+bx+cのグラフは、y=ax²のグラフを平行移動した放物線である。

y=ax²+bx+cのグラフの形はaの値だけで決まる。

bやcの値が変化すると、グラフは平行移動するだけで

その形は変わらない。

 

 

エム太郎
エム太郎
それでは問題を解きていきましょう!

 

問題5

次の2次式を平方完成せよ。

(1)x²-4x+5

(2)2x²+8x+7

(3)x²-x-2

(4)2x²+6x-1

 

次の2次関数のグラフを書け。また、その軸と頂点を求めよ。

(5)y=x²-6x+4

(6)y=2x²+4x+3

(7)y=-2x²+8x-4

(8)y=-3x²-6x-5

(9)y=2x²-2x+2

(10)y=-x²-3x

 

 

解説5

(1)x²-4x+5

=(x-2)²-2²+5

=(x-2)²+1

答え (x-2)²+1

 

(2)2x²+8x+7

=2(x²+4x)+7

=2{(x+2)²-2²}+7

=2(x+2)²-1

答え 2(x+2)²-1

 

(3)x²-x-2

 (x-1/2)²-5/4

 

(4)2x²+6x-1

答え 2(x+3/2)²-11/2

 

(5)y=x²-6x+4

まず、平方完成をします!
エム太郎
エム太郎

y

=x²-6x+4

=(x-3)²-3²+4

=(x-3)²+5

 

答え

 

 

軸はx=3、頂点は(3,5)

 

(6)y=2x²+4x+3

y

=2x²+4x+3

=2(x²+2x)+3

=2{(x+1)²-1²}+3

=2(x+1)²+1

 

答え

 

 

軸はx=-1、頂点は(-1,1)

 

(7)y=-2x²+8x-4

y

=-2x²+8x-4

=-2(x²-4x)-4

=-2{(x-2)²-2²}-4

=-2(x-2)²+4

 

答え

 

 

軸はx=-1、頂点は(2,4)

 

(8)y=-3x²-6x-5

またかよ~って思うと思いますが、平方完成をします!

 

数学では、解くスピードも必要になってきます!

 

なので同じ問題を解くことにも意味があります!

 

同じ問題でも何回も解くことで
それまでに気づかなかったことが
見つかるかもしれないし
解くスピードも自然と上がります(^ ^)

エム太郎
エム太郎

y

=-3x²-6x-5

=-3(x²+2x)-5

=-3{(x+1)²-1²}-5

=-3(x+1)²-2

 

答え

 

 

軸はx=-1、頂点は(-1,-2)

 

 

(9)y=2x²-2x+2

y

=2x²-2x+2

=2(x²-x)+2

 

答え

 

 

 

 

(10)y=-x²-3x

 

答え

 

 

 

エム太郎
エム太郎
今回は多くの二次関数のグラフを勉強したけど

 

理解できたかな?

 

何か質問等あったら気軽に連絡してね!



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