2次関数の応用!問題の解き方の引き出しをここで増やそう!

マル太郎
マル太郎
今日は2次関数の応用部分について解説していきます!

 

頑張っていきましょう! 😎 

 

放物線の平行移動

2つ放物線y=ax²+bx+c、y=ax²+b’x+c’は、

 

x²の係数がともにaであるから、

いずれも放物線y=ax²を平行移動したものである。

 

よって、一方を平行移動して他方に重ねることができます。

 

 

放物線y=2x²をFとする。

Fx軸方向に3、y軸方向に4だけ平行移動して

得られる放物線をGとすると、

 

Gの方程式が

y=2(x-3)²+4

変形して y-4=2(x-3)²

 

G上に任意の点(x,y)をとり、

上で述べた平行移動によって

Pに移されるF上の点をG(x,y)とすると

 

x=X+3,y=Y+4

 

すなわち X=x-3,Y=y-4

 

点GはF上にあるから Y=2X²

この式のXにx-3をYにy-4を代入すると

y-4=2(x-3)²が得られる。

 

これは放物線Gの方程式です。

 

このようにGの方程式は、

Fの方程式y=2x²のxをx-3、yをy-4で置き換えて得られます。

 

 

 

一般に、

放物線y=ax²+bx+c…①をFとし、

Fをx軸方向にp、y軸方向にqだけ

平行移動して得られる放物線をGとすると、

 

Gの方程式は①において

xをx-p、yをy-qで置き換えた式

y-q=a(x-p)²+b(x-p)+c

になる。

 

 

 

グラフの対称移動

平面上で図形上の各点を、

直線や点に関してそれと対称な位置に移すことを

対称移動といいます。

 

特に、

x軸やy軸を対称の軸として線対称内地に移す対称移動と、

 

原点を対称の中心として

点対称な位置に移す対称移動による点の移動について、

次のことが言えます。

 

 

点(a,b)は、それぞれ次の点に移される。

x軸に関する対称移動:(a,-b)

y軸に関する対称移動:(-a,b)

原点に関する対称移動:(-a,-b)

 

一般に

放物線y=ax²+bx+cをx軸、y軸、原点に関して、

それぞれ対称移動して得られる放物線の方程式は、次のようになる。

 

 

x軸:

y=ax²+bx+cのxはそのままとし

yを-yで置き換えて

-y= ax²+bx+c

 

y軸:

y=ax²+bx+cのyはそのままとし

xを-xで置き換えて

y= a(-x)²+b(-x)+c

 

原点:

y=ax²+bx+cのxを-x

yを-yで置き換えて

-y= a(-x)²+b(-x)+c

 

 

マル太郎
マル太郎
それでは問題を解いていきましょう!




 

●問題

(1)放物線y=x²+2x+2は、どのように平行移動すると放物線y=x²-4x+1に重なるか。

 

(2)放物線y=-x²-10x-25は、どのように平行移動すると放物線y=-x²+8x-23に重なるか。

 

次の放物線を、x軸方向に-3、y軸方向に2だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

 

(3)y=3x²

(4)y=-2x²+1

(5)y=x²+3x-4

 

放物線y=2x²-4x+5を、次の直線または点に関して、それぞれ対称移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

 

(6)x軸

(7)y軸

(8)原点

 

●解説

(1)放物線y=x²+2x+2は、どのように平行移動すると放物線y=x²-4x+1に重なるか。

 

y=x²+2x+2…①、y=x²-4x+1…②とする。

①、②をそれぞれ平方完成します。

 

y=(x+1)²+1…①’、y=(x-2)²-3…②’

 

よって、

①の頂点は点(-1,1)、②の頂点は点(2,-3)である。

 

放物線①をx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動したとき、

放物線②に重なるとすると

-1+p=2、1+q=-3という方程式が成り立つ。

 

よって、p=3、q=-4

 

したがって、x軸方向に3、y軸方向に-4だけ平行移動すればよい。

 

答え x軸方向に3、y軸方向に-4だけ平行移動

 

 

 

(2)放物線y=-x²-10x-25は、どのように平行移動すると放物線y=-x²+8x-23に重なるか。

 

y=-x²-10x+2…①、y=-x²+8x-23…②とする。

 

①、②をそれぞれ平方完成します。

y=-(x+5)²…①’、y=-(x-4)²-7…②’

よって、①の頂点は点(-5,0)、②の頂点は点(4,-7)である。

 

放物線①をx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動したとき

放物線②に重なるとすると

-5+p=4、4+q=-7という方程式が成り立つ。

 

よって、p=9、q=-11

 

したがって、x軸方向に9、y軸方向に-11だけ平行移動すればよい。

 

答え x軸方向に9、y軸方向に-11だけ平行移動

 

 

次の放物線を、x軸方向に-3、y軸方向に2だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

 

(3)y=3x²

放物線の方程式y=3x²のxをx-3、yをy-(-4)で置き換えると

 

y-(-4)=3(x-3)²

 

よって、求める放物線の方程式は

 

y=3(x-3)²-4

 

答え y=3(x-3)²-4

 

(4)y=-2x²+1

放物線の方程式y=-2x²+1のxをx-3、yをy-(-4)で置き換えると

 

y-(-4)=-2(x-3)²+1

 

よって、求める放物線の方程式は

 

y=-2(x-3)²-3

 

答え y=-2(x-3)²-3

 

(5)y=x²+3x-4

 

放物線の方程式y=x²+3x-4のxをx-3、yをy-(-4)で置き換えると

 

y-(-4)=(x-3)²+3(x-3)-4

 

整理すると

 

y=x²-3x-8

 

よって、求める放物線の方程式は

 

 

答え 

 

 

放物線y=2x²-4x+5を、次の直線または点に関して、それぞれ対称移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

 

(6)x軸

xはそのままで、yを-yで置き換えると

 

-y=2x²-4x+5

 

よって、求める放物線の方程式は

 

y=-2x²+4x-5

 

答え y=-2x²+4x-5

 

(7)y軸

yはそのままで、xを-xで置き換えると

 

y=2(-x)²-4(-x)+5

 

よって、求める放物線の方程式は

 

y=2x²+4x+5

 

答え y=2x²+4x+5

 

(8)原点

Xを-x、yを-yで置き換えると

 

-y=2(-x)²-4(-x)+5

 

よって、求める放物線の方程式は

 

y=-2x²-4x-5

 

答え y=-2x²-4x-5

 

 

マル太郎
マル太郎
お疲れ様!

 

質問があったらぜひ質問してね :mrgreen: 



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