2次関数の最大と最小の解き方!応用力・引き出しを増やそう!

エム太郎
エム太郎
今回は2次関数の最大と最小について解説していきたいと思います!!

 

頑張っていきましょう 🙂 

●2次関数の最大と最小

一般に、

2次関数y=ax2+bx+cは、y=a(x-p)2+qの形に表され、

その最大値、最小値について、次のことが言えます。

 

2次関数の最大と最小

2次関数 y=a(x-p)2+qは

a>0のとき、

x=pで最小値qをとり、最大値はない。

 

a<0のとき、

x=pで最大値qをとり、最小値はない。

 

 

エム太郎
エム太郎
それでは問題を解いていきましょう!




 

●問題

 

次の関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ。

(1)y=x2+4x+2

(2)y=-2x2-6x

 

次の関数の最大値と最小値を求めよ。

(3)y=-x2+1(1≦x≦3)

(4)y=2x2-4x+1(-1≦x≦2)

 

次の関数に最大値、最小値があれ、それを求めよ。

(5)y=x2+2x(-2<x<1)

(6)y=-2x2+3x+1(0<x≦2)

 

(7)

関数y=2x2-12x+c(1≦x≦4)の最大値が5であるように、

定数cの値を定めよ。

また、その時の最小値を求めよ。

 

(8)aは定数とする。関数y=2x2-4ax(0≦x≦1)の最小値を求めよ。

 

(9)幅20cmの金属板を両端から等しい長さだけ直角に折り曲げて、

断面が長方形状の水路を作る。

このとき

断面積が最大になるようにするためには端から何cmのところで

折り曲げればよいか。また、その断面積の最大値を求めよ。

 

(10)直角を挟む2辺の長さの和が8である直角三角形のうち、斜辺の長さが最小である直角三角形の3辺の長さを求めよ。

 

●解説

次の関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ。

(1)y=x2+4x+2

与式を変形すると

y=(x+2)2-2

 

よって、

この関数はx=-2で

最小値-2をとる。

また、最大値はない。

 

答え x=-2で最小値-2をとる。また、最大値はない。

 

(2)y=-2x2-6x

与式を変形すると

 

よって、この関数は

最大値をとる。

また、最小値はない。

 

答え 最大値をとる。また、最小値はない。

 

 

次の関数の最大値と最小値を求めよ。

(3)y=-x2+1(1≦x≦3)

与式を変形すると

 (1≦x≦3)

グラフは次のようになる。

よってこの関数は

x=1で最大値0をとり、

x=3で最小値-6をとる。

 

答え x=1で最大値0をとり、x=3で最小値-6をとる。

 

(4)y=2x2-4x+1(-1≦x≦2)

与式を変形すると

y=2(x-2)2-7(-1≦x≦2)

グラフは次のようになる。

よって、この関数は

x=-1で最大値5をとり、

x=2で最小値-7をとる。

 

答え x=-1で最大値5をとり、x=2で最小値-7をとる。

 

 

次の関数に最大値、最小値があれ、それを求めよ。

(5)y=x2+2x(-2<x<1)

与式を変形すると

y=(x+1)2-1(-2<x<1)

グラフは次のようになる。

よって、この関数は

X=-1で最小値-1をとる。

また、最大値はない。

 

答え X=-1で最小値-1をとる。また、最大値はない。

 

(6)y=-2x2+3x+1(0<x≦2)

与式を変形すると

(0<x≦2)

グラフは次のようになる。

 

 

よって、この関数は

x=3/4で最大値17/8をとり

x=2で最小値-1をとる。

 

答え x=3/4で最大値17/8をとりx=2で最小値-1をとる。

*3/4、17/8は3分の4、17分の8である

 

(7)

関数y=2x2-12x+c(1≦x≦4)の最大値が5であるように、

定数cの値を定めよ。

また、その時の最小値を求めよ。

 

与式を変形すると

y=2(x-3)²-18+x(1≦x≦4)

グラフは次のようになる。

 

 

この関数はx=1で最大値をとる。

x=1のとき

y=2・1²-12・1+c

=-10+c

ゆえに

-10+c=5

から

c=15

 

よって

y=2(x-3)²-3(1≦x≦4)

となり

この関数はx=3で

最小値-3を取る。

 

答え

c=15

x=3の時、最小値-3

 

(8)

aは定数とする。関数y=2x2-4ax(0≦x≦1)の最小値を求めよ。

 

与式を変形すると

y=2(x-a)²-2a²(0≦x≦1)

 

[1]a<0のとき

この関数のグラフは次のようになる。

 

よって

x=0で最小値0をとる。

 

[2]0≦a≦1のとき

この関数のグラフは次のようになる。

 

 

よって

x=aで最小値-2a²をとる。

 

[3]1<aのとき

この関数のグラフは次のようになる。

 

 

よって

x=1で最小値2-4aをとる。

 

a<0のとき    x=0で最小値0

0≦a≦1のとき  x=aで最小値-2a²

1<aのとき    x=1で最小値2-4a²

 

答え

a<0のとき    x=0で最小値0

0≦a≦1のとき  x=aで最小値-2a²

1<aのとき    x=1で最小値2-4a²

 

(9)幅20cmの金属板を両端から等しい長さだけ直角に折り曲げて、

断面が長方形状の水路を作る。

このとき

断面積が最大になるようにするためには端から何cmのところで

折り曲げればよいか。また、その断面積の最大値を求めよ。

 

折り曲げ部分の長さをxcm、断面積をycm²とする。

 

底の幅は(20-2x)cmで

x>0、20-2x>0であるから

0<x<10…①

 

また、yは

y=x(20-2x)

=-2x²+20x

=-2(x-5)²+50

 

 

よって、①の範囲のxについて、yはx=5で最大値50をとる。

 

ゆえに、端から5cmのところで折り曲げればよい。

また、断面積の最大値は50cm²である。

 

答え

端から5cmのところで折り曲げればよい。

断面積の最大値は50cm²である。

 

(10)直角を挟む2辺の長さの和が8である直角三角形のうち、斜辺の長さが最小である直角三角形の3辺の長さを求めよ。

 

直角を挟む2辺のうちの一方の長さをxとすると、

他方の長さは8-xで表され、x>0、8-x>0であるから

0<x<8…①

 

 

また、斜辺の長さをlとすると、三平方の定理から

=x²+(8-x)²

=2x²-16x+64

=2(x-4)²+32

 

 

よって、

①の範囲のxについて、l²はx=4で最小値32をとる。

 

l>0であるから、

l²が最小となるときlも最小となる。

 

ゆえに、lはx=4で最小値√32=4√2をとる。

 

したがって、求める3辺の長さは、4、4、4√2である。

 

答え 求める3辺の長さは、4、4、4√2

 

マル太郎
マル太郎
今回の内容は理解できたかな?

 

何か質問があったら気軽にコメントとかしてね! :mrgreen: 

 

また次回!

 

 



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