【2次方程式と2次関数】解き方解説!簡単に解く!

2次方程式

 

エム太郎
エム太郎
今回は2次方程式についてやっていきます!

 

集中していこう!

 

2次方程式

2次関数y=ax²+bx+c…①のグラフがx軸と共有点を持つとする。

 

その共有点のy座標は0であるから、

 

共有点のx座標は2次方程式ax²+bx+c…②の解である。

 

したがって

2次関数①のグラフとx軸の共有点について知りたいとき、

2次方程式の解について調べればよい。

 

また逆に

 

2次方程式②の解について知りたいとき

 

2次関数①のグラフを利用すると

 

解を視覚的にとらえることができる。

 

解の公式

エム太郎
エム太郎
2次方程式ax²+bx+c=0・・・①の解を求める公式として

 

中学校で解の公式を学んだと思うから

 

ここでそれを復習しておこう 🙂 

 

2次方程式①の左辺を平方完成すると

 

 

となる。

 

したがって、2次方程式①は次のように書ける。

 

 

ゆえに

・・・②

 

b²-4ac≧0のとき

②の右辺は正または0であるから

 

この式の右辺は

aの正負にかかわらず

 

となるから

 

 

したがって、次の解の公式が得られる。

 

2次方程式ax²+bx+c=0の解はb²-4ac≧0のとき

 

b²-4ac<0のとき、②の右辺は負となるので、②を満たす実数xは存在しない。

すなわち、b²-4ac<0のとき、2次方程式ax²+bx+c=0は実数の解を持たない。

 

2次方程式ax²+2b’x+c=0の解は、

解の公式においてb=2b’と置くことにより、次のようになる。

 

 

 

よって、次の公式が得られる。

 

2次方程式ax²+2b’x+c=0の解は、b’²-ac≧0のとき

 

2次方程式の実数解の個数

方程式における実数の解を

単に実数解という。

 

2次方程式ax²+bx+c=0の実数解とその個数について考えましょう。

 

[1]b²-4ac>0のとき

解はであり

これらは異なる2つの実数解である。

 

[2]b²-4ac=0のとき

解は-b/2aであり、これはただ1つの実数解である。

 

この場合は

2つの解が重なったものと考えて

この実数解を重解という。

 

[3]b²-4ac<0のとき

この2次方程式は実数解を持たない。

 

したがって

b²-4acの符号によって

解を次のように分類できる。

 

 

b²-4acを2次方程式ax²+bx+c=0の判別式といい、普通Dで表す。

 

2次方程式ax²+bx+c=0の実数解と判別式D=b²-4acの符号について

次のことが成り立つ。

 

D>0⇔異なる2つの実数解をもつ

D=0⇔ただ1つの実数解(重解)をもつ

D<0⇔実数解をもたない。

 

エム太郎
エム太郎
それでは問題を解いていきましょう!




 

●問題

次の2次方程式を解け。

(1)x²-6x+5=0

(2)x²-5x+24=0

(3)2x²+5x+2=0

(4)3x²+7x-6=0

(5)3x²+7x+1=0

(6)x²-3x-2=0

(7)x²+2x-1=0

(8)2x²-4x-7=0

(9)9x²-12x+4=0

(10)x²-2√3x+2=0

 

次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。

(11)x²+3x+1=0

(12)2x²-x+2=0

(13)4x²+4x+1=0

(14)2次方程式3x²-8x+m=0が異なる2つの実数解をもつように、定数mの値の範囲を定めよ。

 

(15)2次方程式x²+mx-m+3=0が重解をもつように、定数mの値を定めよ。また、その時の重解を求めよ。

 

●解説

次の2次方程式を解け。

(1)x²-6x+5=0

左辺を因数分解すると (x-5)(x-1)=0

よって        x-5=0またはx-1=0

すなわち       x=5またはx=1

ゆえに解は      x-1,5

 

答え  x-1,5

 

(2)x²-5x+24=0

(x-8)(x-3)=0

 x=8,-3

 

答え x=8,-3

 

(3)2x²+5x+2=0

(2x+1)(x+2)=0

x=1/2,-2

*1/2は2分の1です。

 

答え x=1/2,-2

 

(4)3x²+7x-6=0

(3x-2)(x+3)=0

x=2/3,-3

*2/3は3分の2です。

 

答え x=2/3,-3

 

(5)3x²+7x+1=0

解の公式より

 

答え -7±√37/6

*6分の-7±ルート37

 

(6)x²-3x-2=0

解の公式より

 

答え 2±√17/2

*2分の2±ルート17

 

(7)x²+2x-1=0

解の公式より

 

答え -1±√2

*-1±ルート2

 

(8)2x²-4x-7=0

解の公式より

 

答え 2±3√2/2

*2分の2±ルート2

 

(9)9x²-12x+4=0

解の公式より

 

答え 2/3

*3分の2

 

(10)x²-2√3x+2=0

解の公式より

=23±10

 

答え 23±10

*2ルート3±ルート10

 

次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。

(11)x²+3x+1=0

判別式をDとすると

D=3²-4×1×1=5>0であるから、

この2次方程式の実数解の個数は2個である。

 

答え 2個

 

(12)2x²-x+2=0

判別式をDとすると

D=(-1)²-4×2×2=-15<0であるから、

この2次方程式は実数解を持たない。

 

答え 実数解を持たない

 

(13)4x²+4x+1=0

判別式をDとすると

D=4²-4×4×1=0であるから、

この2次方程式の実数解の個数は1個である。

 

答え 1個

 

(14)2次方程式3x²-8x+m=0が異なる2つの実数解をもつように、定数mの値の範囲を定めよ。

判別式をDとすると

D=(-8)²-4×3×m=64-12m

 

異なる2つの実数解をもつための必要十分条件

はD>0であるから

64-12m>0

よって m < 

 

答え m<16/3

*m<3分の16

 

(15)2次方程式x²+mx-m+3=0が重解をもつように、定数mの値を定めよ。また、その時の重解を求めよ。

 

判別式をDとすると

D=m²-4×1×(-m+3)=m²+4m-12

 

重解をもつための必要十分条件はD=0であるから

m²+4m-12=0

(m+6)(m-2)=0

よって m=2,-6

 

m=2のとき x²+2x+1=0

(x+1)²=0

よって求める重解はx=-1

 

m=-6のとき x²-6x+9=0

(x-3)²=0

よって求める重解はx=3

 

m=2のとき重解はx=-1

m=-6のとき重解はx=3

 

答え

m=2のとき重解はx=-1

m=-6のとき重解はx=3

 

 

エム太郎
エム太郎
お疲れ様!

 

次の章も濃い内容だから見てね!



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