【三角比】分かりやすい解説!問題を解いて三角比を解けるようにしよう!

エム太郎
エム太郎
今回は三角比についてやっていきたいと思います!

 

頑張っていきましょう!

 

正接・正弦・余弦の関係

下図において

2 つの半直線 OA,OB のなす角θは鋭角

すなわち 0°<θ<90°であるとする。

 

∠AOB の辺 OA 上の 2 点 P,Pʼから辺 OB に

それぞれ垂線 PQ,PʼQʼを下すと

△POQ∽△PʼOʼQʼ

よって

PQ:OQ=PʼQʼ:OQʼ

 

すなわち

 

ゆえに

の値は、辺 OA 上の点 P の位置に関係なく、θだけによって定まる。

 

を角θの正弦またはタンジェントといい、tanθで表す。

 

また同様に、

の値も、

辺 OA 上の点 P の位置に関係なく、θだけによって定まる。

 

を角θの正弦またはサインといい、sinθで表す。

また
を角θの余弦またはコサインといい、cosθで表す。
正接、正弦、余弦をまとめて三角比という。

三角比
右の図の直角三角形において

 

 

三角比の式を変形すると

 

 

 

これらから

 

また、三平方の定理より

x²+y²=r²

 

ゆえに (rcosθ)²+(rsinθ)²=r²

両辺をr²で割って、次の等式が得られる。

 

sin²θ+cos²θ=1

さらに、個の等式の両辺をcos²θで割ると

 

であるから

 

●三角比の相互関係

 

90°-θの三角比〕

 

下図の直角三角形において

 

 

 

よって、鋭角θについて、次の公式が成り立つ。

 

●90°-θの三角比

 

180°-θの三角比〕

下図のような半径1の半円周上に点P,Qを

∠AOP=θ,∠AOQ=180°-θ

であるようにとると

 

PとQはy軸に関して対称である。

 

 

 

 

よって、点Pの座標は(x,y)とすると、点Qの座標は(-x,y)となるから

 

sinθ=y , sin(180°-θ)=y

cosθ=x , cos(180°-θ)=-x

tanθ=y/x , tan(180°-θ)=-y/x

 

したがって、0°≦θ≦180°のとき次の公式が成り立つ。

 

●180°-θの三角比

 

 

マル太郎
マル太郎

それでは問題を解いていきましょう!




 

〔問題〕

下の図において、sinθ,cosθ,tanθの値を、それぞれ求めよ。

(1)

 

(2)

 

(3)

 

次の値を求めよ。

(4)cos30°,tan30°

(5)sin45°,tan45°

(6)sin60°,cos60°

 

(7)山のふもとのA駅と、山頂のB駅を結ぶケーブルカーの路線の全長は3000m、傾斜角は25°であるという。A駅とB駅の標高差と水平距離は、それぞれ何mか。1m未満は四捨五入して求めよ。

 

(8)木の根元から水平に10m離れた地点で、木の先端の仰角を測ったところ、28°であった。目の高さを1.6mとして、木の高さを求めよ。ただし、少数第2位を四捨五入せよ。

 

(9)θは鋭角とする。cosθ=のとき、sinθとtanθの値を求めよ。

 

(10)θは鋭角とする。tanθ=2√2のとき、sinθとcosθの値を求めよ。

 

 

次の三角比を45°以下の角の三角比で表せ。

(11)sin62°

(12)cos53°

(13)tan85°

 

(14)下の図を用いて、次の角の正弦、余弦、正接の値を求めよ。

120°

 

 

0°≦θ≦180°の時、次の等式を満たすθを求めよ。

(15)sinθ=

(16)cosθ=-

(17)tanθ=-√3

(18)0°≦θ≦180°とする。

sin=のとき、cosθとtanθの値を求めよ。

 

 

次の直線とx軸の正の向きとのなす角θを求めよ。

(19) y=√3

(20) y=x

(21) y=-√3x

 

〔解説〕

 

下の図において、sinθ,cosθ,tanθの値を、それぞれ求めよ。

(1)

 

 

答え

sinθ=1/√5

cosθ=2/√5

tanθ=1/2

 

(2)

 

答え

sinθ=5/13

cosθ=12/13

tanθ=5/12

 

(3)

 

答え

sinθ=2√3/4

cosθ=1/2

tanθ=√3

 

 

次の値を求めよ。

(4)cos30°,tan30°

 

答え

cos30°=√3/2

tan30°=1/√3

 

(5)sin45°,tan45°

 

答え

sin45°=1/√2

tan45°=1

 

(6)sin60°,cos60°

 

答え

sin60°=√3/2

cos60°=1/2

 

(7)山のふもとのA駅と、山頂のB駅を結ぶケーブルカーの路線の全長は3000m、傾斜角は25°であるという。

A駅とB駅の標高差と水平距離は、それぞれ何mか。

1m未満は四捨五入して求めよ。

 

上図において

BC=ABsin25°

=3000×0.4226

=1267.8≒1268

 

AC=ABcos25°

=3000×0.9063

=2718.9≒2719

 

答え

標高差は1268m、水平距離は2719m

 

(8)木の根元から水平に10m離れた地点で、

木の先端の仰角を測ったところ、28°であった。

目の高さを1.6mとして、木の高さを求めよ。

ただし、少数第2位を四捨五入せよ。

 

 

上図において

BC=ACtan28°

=10×0.5317

=5.317

≒5.3

 

よって木の高さBDは

BD=BC+CD=5.3+1.6=6.9

 

答え 6.9m

(9)θは鋭角とする。cosθ=のとき、sinθとtanθの値を求めよ。

 

答え

sinθ=√5/3

tanθ=√5/2

 

(10)θは鋭角とする。tanθ=2√2のとき、sinθとcosθの値を求めよ。

答え

sinθ=1/3

tanθ=2√2/3

 

次の三角比を45°以下の角の三角比で表せ。

(11)sin62°

sin62°

=sin(90°-28°)

=cos28°

答え cos28°

 

(12)cos53°

cos53°

=cos(90°-37°)

=sin37°

答え sin37°

 

(13)tan85°

tan85°

=tan(90°-5°)

=

答え 1/tan5°

 

(14)下の図を用いて、次の角の正弦、余弦、正接の値を求めよ。

120°

 

 

答え

sin120°=√3/2

cos120°=-1/2

tan120=°-√3

 

0°≦θ≦180°の時、次の等式を満たすθを求めよ。

(15)sinθ=

求めるθは

∠AOPと∠AOQ

であるから

θ=60°,120°

答え θ=60°,120°

 

(16)cosθ=-

求めるθは

∠AOP

であるから

θ=135°

答え θ=135°

 

(17)tanθ=-√3

直線x=1上で

y座標が-√3となる点をTとすると

 

直線OTと半径1の半円の交点は

下図の点Pである。

 

 

求めるθは、∠AOPであるから

θ=120°

答え θ=120°

 

(18)0°≦θ≦180°とする。

sin=のとき、cosθとtanθの値を求めよ。

 

 

答え

cosθ=4/5

tanθ=-3/4

 

次の直線とx軸の正の向きとのなす角θを求めよ。

(19) y=√3

tanθ=√3

から

θ=60°

 

答え θ=60°

 

(20) y=x

tanθ=1

から

θ=45°

答え θ=45°

 

(21) y=-√3x

tanθ=-√3

から

θ=120°

答え θ=120°

 

 

マル太郎
マル太郎
お疲れ様!

 

今回の分野は分かりやすかったかな?

 

何か要望とかがあったらぜひコメントしてね!



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