【三角比・三角形の面積】求め方!この問題でマスターできる!

エム太郎
エム太郎
今回は三角比を利用した三角形の求め方についてやっていきます!

【三角形の面積】

△ABCの面積Sを、2辺の長さとその間の角を用いて表してみよう。

頂点Cから辺ABまたはその延長に下した垂線をCHとすると

CH=bsinA

よって

 

S=1/2AB・CH

=1/2cbsinA

*1/2は2分の1

 

 

同様に考えて、次の公式が得られる。

 

◯三角形の面積

 

【三角形の内接円と面積】

三角形の3辺に接する円を、その三角形の内接円という。

 

△ABCの面積をS、内接円の半径をrとすると、次の等式が成り立つ。

 

エム太郎
エム太郎
それでは、問題を解いていきましょう!




 

問題

次のような△ABCの面積Sを求めよ。

(1)b=4,c=7,A=45°

 

(2)a=3,c=8,B=60°

 

(3)a=√6,b=2√2,C=150°

 

(4)△ABCにおいて、a=5,b=6,c=7のとき、この三角形の面積Sを求めよ。

 

(5)△ABCにおいて、a=4,b=3,c=2のとき、この三角形の面積Sを求めよ。

 

(6)半径1の円に内接する正八角形の面積Sを求めよ。

 

(7)半径1の円に内接する正十二角形の面積Sを求めよ。

 

(8)円に内接する四角形ABCDにおいて、

AB=5,BC=4,CD=4,∠B=60°

とする。次のものを求めよ。

 

(i)ACの長さ

(ii)ADの長さ

(iii)四角形ABCDの面積

 

(9)a=5,b=6,c=3である△ABCの内接円の半径rを求めよ。

 

(10)下図のようなAB=3,AD1,AE=2である直方体ABCD-EFGHがある。

△AFCの面積Sを求めよ。

 

 

(11)下図のような、AB=6,AD=4,AE=3である直方体ABCD-EFGHがある。△DEGの面積Sを求めよ。

 

(12)1辺の長さがaの正四面体ABCDにおいて、辺CDの中点をMとする。このとき、次のものを求めよ。

 

(i)cos∠ABMの値

(ii)△ABMの面積

 

 

(13)1辺の長さが6である正四面体ABCDにおいて、頂点Aから△BCDに垂線AHを下ろす。

 

(i)Hは△BCDの外接円の中心であることを示せ。

(ii)AHの長さを求めよ。

(iii)正四面体ABCDの体積Vを求めよ。

 

エム太郎
エム太郎
できたかな?

 

ここから解説に入ります!

 

【解説】

*/(スラッシュ)は分数です。

例、1/2→2分の1

次のような△ABCの面積Sを求めよ。

 

(1)b=4,c=7,A=45°

 

S=1/2bcsinA

=1/2・4・7sin45°

=7√2

 

答え S=7√2

 

(2)a=3,c=8,B=60°

 

S=1/2acsinB

=1/2・3・8sin60°

=6√3

 

答え S=6√3

 

(3)a=√6,b=2√2,C=150°

 

S=1/2absinC

=1/2・√6・2√2sin150°

=√3

 

答え S=√3

 

(4)△ABCにおいて、a=5,b=6,c=7のとき、この三角形の面積Sを求めよ。

 

余弦定理により

 

 

sinA>0であるから

したがって

 

S=1/2bcsinA

=

=6√6

 

答え S=6√6

 

(5)△ABCにおいて、a=4,b=3,c=2のとき、この三角形の面積Sを求めよ。

 

sinA>0であるから

 

したがって

S=1/2bcsinA

 

答え S=3√15/4

 

(6)半径1の円に内接する正八角形の面積Sを求めよ。

 

 

上図のように

正八角形を8個の合同な三角形に分けると

 

∠AOB=360°÷8=45°

 

よって、求める面積は

 

S=8△OAB

=8・1/2・1・1・sin45°

=2√2

 

答え S=2√2

 

(7)半径1の円に内接する正十二角形の面積Sを求めよ。

 

上図のように

正八角形を12個の合同な三角形に分けると

 

∠AOB=360°÷12=30°

 

よって、求める面積は

S=12△OAB

=12・1/2・1・1・sin30°

=3

 

答え S=3

 

(8)円に内接する四角形ABCDにおいて、

AB=5,BC=4,CD=4,∠B=60°

とする。次のものを求めよ。

 

 

(i)ACの長さ

△ABCに余弦定理を適用して

 

AC²=4²+5²-2・4  ・5cos60°

=41-40・1/2

=21

 

AC>0であるから

AC=√21

 

答え AC=√21

 

(ii)ADの長さ

 

四角形ABCDは円に内接するから

∠D=180°-∠B=180°-60°=120°

 

よって

AD=xとして△ACDに余弦定理を適用すると

 

AC²=CD²+AD²-2・CD・ADcos∠D

から

21=4²+x²-2・4xcos120°

 

ゆえに

x²+4x-5=0

 

これを解いて

x=-5,1

 

x>0であるから x=1

 

すなわち AD=1

 

答え AD=1

 

 

(iii)四角形ABCDの面積

 

四角形ABCDの面積をSとすると

 

S=△ABC+△ACD

=1/2・5・4sin60°+1/2・4・1・sin120°

=6√3

 

答え S=6√3

 

(9)a=5,b=6,c=3である△ABCの内接円の半径rを求めよ。

 

余弦定理により

 

sinA>0であるから

 

 

△ABCの面積をSとすると

 

 

また S=1/2r(5+6+3)=7r

 

よって 7r=2√14から

 

 

答え 2√14/7

 

(10)下図のようなAB=3,AD1,AE=2である直方体ABCD-EFGHがある。

△AFCの面積Sを求めよ。

 

 

三平方の定理により

AF²=AB²+BF²=3²+2²=13

CF²=BC²+BF²=1²+2²=5

AC²=AB²+BC²=3²+1²=10

 

よって

△AFCに余弦定理を適用すると

 

 

ゆえに

 

 

したがって、△AFCの面積Sは

 

S=1/2・AF・CFsin∠AFC

 

答え S=7/2

 

(11)下図のような、AB=6,AD=4,AE=3である直方体ABCD-EFGHがある。△DEGの面積Sを求めよ。

 

三平方の定理により

DE²=AD²+AE²=4²+3²=25

DG²=CD²+CG²=6²+3²=45

EG²=EF²+FG²=6²+4²=52

 

よって

△EDGに余弦定理を適用すると

 

 

ゆえに

 

 

したがって、△AFCの面積Sは

 

S=1/2・DE・DGsin∠EDG

 

 

答え S=3√29

 

(12)1辺の長さがaの正四面体ABCDにおいて、辺CDの中点をMとする。このとき、次のものを求めよ。

 

(i)cos∠ABMの値

点Mは中点であるのでCM=DM=1/2a

三平方の定理により

 

 

よって、△ABMに余弦定理を適用すると

 

 

答え cos∠ABM=1/√5

 

(ii)△ABMの面積

(i)より

 

したがって、△ABMの面積Sは

 

S=1/2・BA・BMsin∠ABM

 

 

答え S=1/2a²

 

(13)1辺の長さが6である正四面体ABCDにおいて、頂点Aから△BCDに垂線AHを下ろす。

 

(i)Hは△BCDの外接円の中心であることを示せ。

 

答え

△ABH、△ACH、△ADHは

いずれも直角三角形で

 

AB=AC=AD, 

AHは共通

 

であるから

これらの直角三角形は合同である。

 

よって BH=CH=DH

 

ゆえに、Hは△BCDの外接円の中心である。

 

(ii)AHの長さを求めよ。

 

BHは△BCDの外接円の半径であるから

正弦定理により

 

よって

BH=2√3

 

△ABHは直角三角形であるから

三平方の定理により

 

答え 2√6

 

(iii)正四面体ABCDの体積Vを求めよ。

 

S=1/2・6・6sin60°=9√3

 

よって

 

V=1/3・S・AH=1/3・9√3・2√6

 

=18√2

 

答え V=18√2

 

エム太郎
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