【三角比 ・三角形への応用】解き方!分かりやすく簡単に!

マル太郎
マル太郎
三角比 ・三角形への応用の分野を
今回はやっていきます!

 

張り切っていきましょう!

以下では、△ABCにおいて

頂点A,B<Cに向かい合う辺BC,CA,ABの長さを、それぞれa,b,cで表し、

∠A,∠B,∠Cの大きさを、それぞれA,B,Cで表す。

三角形の3つの頂点を通る円を、その三角形の外接円という。

 

 

【正弦定理】

三角形について、次の正弦定理が成り立つ。

 

◯正弦定理

△ABCの外接円の半径をRとすると

 

【余弦定理】

三角形について、次の余弦定理が成り立つ。

 

◯余弦定理

△ABCにおいて

a²=b²+c²-2bccosA

b²=c²+a²-2cacosB

c²=a²+b²-2abcosC

 

余弦定理から、次の等式が得られる。

 

【三角形の角の大きさと辺の長さの関係】

 

△ABCにおいて

三平方の定理から、次のことが成り立つ。

 

A=90°⇔a²=b²+c²

 

また、

 

cosAの符号とb²+c²-a²の符号は一致するから

次のことも成り立つ。

 

A<90°⇔a²<b²+c²

A>90°⇔a²>b²+c²

 

三角形について、次のことが成り立つことが知られている。

 

三角形の2辺の大小関係は

その向かい合う角の大小関係と一致する。

特に

最大の辺に向かい合う角は最大の角である。

 

 

マル太郎
マル太郎
それでは問題を解いていきましょう!




 

【問題】

以下では、△ABCにおいて

頂点A,B<Cに向かい合う辺BC,CA,ABの長さを、それぞれa,b,cで表し、

∠A,∠B,∠Cの大きさを、それぞれA,B,Cで表す。

三角形の3つの頂点を通る円を、その三角形の外接円という。

△ABCにおいて、次のものを求めよ。

(1)b=6,B=30°,C=45°のときc

 

(2)c=4,A=120°,B=15°のときa

 

△ABCにおいて、外接円の半径をRとする。次のものを求めよ。

(3)b=8,B=60°のときR

 

(4)a=RのときA

 

△ABCにおいて、次のものを求めよ。

(5)a=3,c=2√2,B=45°のときb

 

(6)a=8,b=7,C=120°のときc

 

(7)a=√5,b=√2,A=45°のときc

 

(8)a=2,b=7,c=3√3のときB

 

△ABCにおいて、3辺の長さが次のようなとき

△ABCは鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれであるか。

(9)a=4,b=3,c=2

 

(10)a=5,b=6,c=7

 

 

 

(11)△ABCにおいて、b=2,c=√3+1,A=60°のとき、a,B,Cを求めよ。

 

(12)△ABCにおいて、a=√6,b=2,B=45°のとき、c,A,Cを求めよ。

 

(13)△ABCにおいて次の等式が成り立つとき

の三角形の最も大きい角の大きさを求めよ。

sinA : sinB : sinC = 7 : 5 : 3

 

マル太郎
マル太郎
解説に入るよ!

【解説】

以下では、△ABCにおいて

頂点A,B<Cに向かい合う辺BC,CA,ABの長さを、それぞれa,b,cで表し、

∠A,∠B,∠Cの大きさを、それぞれA,B,Cで表す。

三角形の3つの頂点を通る円を、その三角形の外接円という。

△ABCにおいて、次のものを求めよ。

(1)b=6,B=30°,C=45°のときc

 

正弦定理により

であるから

 

ゆえに

=6√2

 

答え c=6√2

 

(2)c=4,A=120°,B=15°のときa

 

A+B+C=180°であるから

C=180°-(120°+15°)=45°

 

正弦定理により

であるから

 

ゆえに

=√6

 

答え a=√6

 

△ABCにおいて、外接円の半径をRとする。次のものを求めよ。

(3)b=8,B=60°のときR

 

正弦定理により

であるから

 

ゆえに

答え R=8√3/3

 

(4)a=RのときA

 

正弦定理により

 

であるから

 

 

ゆえに

A=30°

 

答え A=30°

 

△ABCにおいて、次のものを求めよ。

(5)a=3,c=2√2,B=45°のときb

 

余弦定理により

 

b²=a²+c²-2accosB

=3²+(2√2)²-2・3・2√2・cos45°

=5

 

b>0であるから b=√5

 

答え b=√5

(6)a=8,b=7,C=120°のときc

 

余弦定理により

 

c²=a²+b²-2abcosC

=8²+7²-2・8・7・cos120°

=169

 

c>0であるから c=13

 

答え c=13

 

(7)a=√5,b=√2,A=45°のときc

 

余弦定理により

 

a²=b²+c²-2bccosA

 

これを変形すると

 

c²=a²-b²+2bccosA

=(√5)²-(√2)²+2・√2・c・cos45°

 

よって

c²-2c-3=0

 

これを解いて

c=3,-1

 

c>であるから c=3

 

答え c=3

 

(8)a=2,b=7,c=3√3のときB

 

余弦定理により

 

b²=a²+c²-2accosB

 

これを変形して

 

 

よって

B=150°

 

答え B=150°

 

△ABCにおいて、3辺の長さが次のようなとき

△ABCは鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれであるか。

 

(9)a=4,b=3,c=2

 

4²>3²+2²であるから a²>b²+c²

 

ゆえに

A>90°

 

最大の角Aが鈍角であるから

△ABCは鈍角三角形である。

 

答え △ABCは鈍角三角形である。

 

(10)a=5,b=6,c=7

 

7²<5²+6²であるから c²<a²+b²

 

ゆえに

C<90°

 

最大の角Cが鋭角であるから

△ABCは鋭角三角形である。

 

答え △ABCは鋭角三角形である。

 

(11)△ABCにおいて、b=2,c=√3+1,A=60°のとき、a,B,Cを求めよ。

 

余弦定理により

 

a²=b²+c²-2bccosA

=2²+(√3+1)²-2・2(√3+1)cos60°

=6

 

a>0であるから

a=√6

 

余弦定理により

 

ゆえに B=45°

 

よって C=180°-(A+B)=75°

 

答え a=√6、B=45°、C=75°

 

(12)△ABCにおいて、a=√6,b=2,B=45°のとき、c,A,Cを求めよ。

 

余弦定理により

 

b²=c²+a²-2cacosB

 

であるから

 

2²=c²+(√6)²-2・c・√6cos45°

 

ゆえに

c²-2√3c+2=0

 

これを解いて

c=√3±1

 

[1]c=√3+1のとき

余弦定理により

 

ゆえに 

A=60°

 

よって

 

C=180°-(60°+45°)

=75°

 

[2]c=√3-1のとき

余弦定理により

 

ゆえに

A=120°

 

よって

 

C=180°-(120°+45°)

=15°

 

答え

c=√3+1,A=60°,C=75°

または

c=√3-1,A=120°,C=15°

 

(13)△ABCにおいて、次の等式が成り立つとき、この三角形の最も大きい角の大きさを求めよ。

sinA : sinB : sinC = 7 : 5 : 3

 

正弦定理により

 

a:b:c=sinA:sinB:sinC

 

これと与えられた等式から

A:b:c=7:5:3

 

よって、ある正の数kを用いて

 

A=7k,b=5k,c=3k

 

と表わされる。

 

aが最大の辺であるから

Aが最大の角である。

 

余弦定理により

 

よって、最大の角の大きさはA=120°

 

答え A=120°

 

 

マル太郎
マル太郎
まるまるまるたろう!

 

お疲れ!

 

いつでも質問してきてね!



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